2012년 7월 9일 월요일

Factorions와 연관된 수열

http://oeis.org/A014080 을 보면 Factorions라는 수열이 나온다.

설명 그대로 equal to the sum of the factorials of their digits in base 10인 수들인데..

Perfect numbers와 Amicable numbers의 관계처럼

Factorions를 Perfect numbers에 대입하는 경우에도 그런 경우가 있지 않을까 해서 찾아봤다.

Factorions는 1, 2, 145, 40585로 구성되어있다.

145를 예로 들자면 145 = 1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145인데.

871과 45361도 저런 식으로 서로 대응이 된다.

8! + 7! + 1! = 40320 + 5040 + 1 = 45361
4! + 5! + 3! + 6! + 1! = 24 + 120 + 6 + 720 + 1 = 871

이렇게.

자명하지만 872와 45362도 저런 관계로 이루어져 있고,

100만 미만인 경우에서는 저 두 쌍 외에는 존재하지 않는 것을 확인했다.

OEIS 로그인이 자꾸 안되는데;; 된다면 Alice-Nano Number라는 이름으로 등록하고 싶다..ㅎ

2010년 10월 30일 토요일

19의 배수 판정법에 대하여..

학교에서 Number Theory 배우다가 Division Test라는 게 있더라.

거긴 1001=7*11*13까지만 나와있었는데..

순간 생각난 게 있어서 한번 써본다.

일단 10^k승의 least nonnegative residue(modulo 19)를 k로 나타내보면 어떻게 나타낼수 있을까.. 하는 것에 대해서 생각해보니까...

일반항은 못구해도 간단한 방법으로 점화식은 가능할 듯 싶다.

뭐 10의 k승이라고 할 것도 없이.

x가 mod 19일때 a와 컨그런스하다고 하다면,

a가 even이면 2k꼴로 나타낼 수 있으며

10x는 20k와 mod 19일때 컨그런스하고, 곧 20k는 k와 컨그런스하다.

한마디로, x 가 2k와 컨그런스하면, 10x는 k와 컨그런스 하다는 이야기.

a가 odd면 a+19는 even이며, 위와 같은 방식으로 할 수 있다.

이걸 이용해보면 10^0, 10^1, 10^2... 10^k까지의 mod 19의 absolute value가 least한 residue를 바로바로 구할 수 있다.

간단히 1, -9, 5, -7, 6, 3...로, 매우 간결한 알고리즘을 이용해서 구할 수 있다.
그 수들을 A_0 = 1, A_1 = -9, A_2= 5 등등으로 나타내서 10^k의 absolute value가 least한 residue를 A_k로 하고.

배수를 판정해야되는 k+1자리 10진수가 (N_k N_k-1 N_k-2 ... N_0)_(10)이 있으면, 그 수는

N_k * 10^k + N_k-1 * 10^k-1 + ... + N_0 * 10^0 = 은
k
시그마 N_i * A_i 로 나타낼 수 있다.
i=0

더 간단히 말하자면, 자리수가 있을때 저 A_k를 손쉽게 전개해서, 각 자리수와 대응해서 곱한다면(마치 벡터처럼) 한 자리 수 * 한 자리 수의 합으로 나타낼 수 있으므로 훨씬 쉽게 구할 수 있다.

현재 19의 배수 판정법이라는 것도 위와 비슷한 이치다. 원리상으론 굉장히 간단하게, ABCDE가 있으면 ABCD+2E와 mod 19일때 컨그런스하기 때문에 한 자리씩 줄인다는 이야기인데..

자릿수가 세~네자리면 굉장히 유용한 방법이라고 생각한다. 하지만 10자리가 넘는다면(아 솔까말 열자리 넘으면 손으로 안하겠제..) 이번에 제안한 방법도 방법이 되지 않을까.

이걸 응용한 방법도 생각해 봤다.

사실 17의 배수 판정법도 금방 응용할 수 있을텐데.

x가 mod 17일때 even인 a(=2k)라고 하면, 10x는 20k, 곧 3k이므로..

뭐 특별한 경우에는, 예를 들자면 16이 mod 17일때 16이니까.

160은 24, 1600은 36, 16000은 54, 160000은 81이 되겠다.

근데 사실 응용하긴 힘들 것 같고.. 그럴 수 있다고만 보면 되겠다.

에고, 피곤하다.

2010년 3월 30일 화요일

Missed Love Number;엇갈린 사랑 수

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A005188
의 수열과 비슷한 이치지만..

a = a1a2a3...ap
b = b1b2b3...bq
c = c1c2c3...cr

일때.

a1^p+a2^p+...+ap^p = b
b1^q+b2^q+...+bq^q = c
c1^r+c2^r+...+cr^r = a

를 만족하는 (a, b, c)를

엇갈린 사랑 수라고 한다.

100000 이하의 엇갈린 사랑 수는 (160, 217, 352) 1쌍만이 존재한다.


이 수열과는 무슨 관련이 있는 걸까. 일반화가 더 되어있는 것 같긴 하지만 어떻게 정의를 봐야 할지 잘 모르겠다.

어렵구만.. 참..

Narcissus Number;나르시스 수

n자리의 10진수 a가 있을 때.
a = a1a2a3a4...an 이라고 하자.
그 때, a1^n + a2^n + a3^n + ... + an^n = a을 만족하는 a를,

나르시스 수라고 한다.

ex) 153 = 1^3 + 5^3 + 3^3

나르시스 수는 100000 이하의 범위에 19개가 있으며.

다음과 같다.


1
2
3
4
5
6
7
8
9
153
370
371
407
1634
8208
9474
54748
92727
93084

아니 이런 수열은 없길래, 그냥 명명해봤다.

뭐, 누가 했으면 말고..